Найдите наибольшее значение функции у=х^3-3х+4 на отрезке [-2;0]. Наибольшее значение функции


Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Как найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

Для этого мы следуем известному алгоритму:

1. Находим ОДЗ функции.

2. Находим  производную функции

3. Приравниваем производную  к нулю

4. Находим промежутки, на которых производная сохраняет знак,  и по ним определяем промежутки возрастания и убывания функции:

Если на промежутке I производная функции f^{prime}(x)>0 , то функция y=f(x)возрастает на этом  промежутке.

Если на промежутке I производная функции f^{prime}(x)<0 , то функция y=f(x)убывает на этом промежутке.

5. Находим точки максимума и минимума функции.

В точке максимума функции производная меняет знак с "+" на "-".

В точке минимума функции производная меняет знак с "-" на "+".

6. Находим значение функции в концах отрезка,

  • затем сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках максимума, и выбираем из них наибольшее, если нужно найти наибольшее значение функции
  • или   сравниваем значение функции в концах отрезка и в точках минимума, и выбираем из них наименьшее, если нужно найти наименьшее значение функции

Однако, в зависимости от того, как себя ведет функция на отрезке, это алгоритм можно значительно сократить.

Рассмотрим функцию f(x)=x^3-2x^2+3. График этой функции выглядит так:

В зависимости от того, на каком промежутке мы будем рассматривать функцию, алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения будет различным.

1. Рассмотрим функцию на отрезке {x}{in}delim{[}{-1;0}{]}

Функция возрастает на этом отрезке, поэтому наибольшее значение она будет принимать в правом конце отрезка: f(0), а наименьшее - в левом: f(-1).

2. Рассмотрим функцию на отрезке {x}{in}delim{[}{-1;1}{]}

Очевидно, что наибольшее значение функция принимает в точке максимума f(0), а наименьшее - в одном из концов отрезка, то есть надо найти значения f(-1) и f(1) и выбрать из них наименьшее.

3. Если мы рассмотрим функцию на отрезке {x}{in}delim{[}{-1;2}{]}, то чтобы найти наибольшее значение, нам нужно будет сравнить значения функции в точке максимума и в правом конце отрезка, то есть f(0) и f(2).

Чтобы найти наименьшее значение функции,  нам нужно будет сравнить значения функции в точке минимума  и в левом конце отрезка, то есть f(4/3) и f(-1).

Эти рассуждения очевидны, если перед глазами есть график функции. Но эскиз графика легко нарисовать, проведя исследование функции с помощью производной:

1. ОДЗ функции f(x)=x^3-2x^2+3 - множество действительных чисел.

2. f^{prime}(x)=3x^2-4x

3.  3x^2-4x=0, если x_1=0 или x_2=4/3

Нанесем корни производной на числовую ось и расставим знаки. Теперь поведение функции легко определить, и, следуя за стрелками, символизирующими возрастание - убывание, можно схематично изобразить ее график:

 

Рассмотрим несколько примеров решения задач из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике

1. Задание B15 (№ 26695)

Найдите наибольшее значение функции  y=15x-3sinx+5 на отрезке [-{pi}/2;0].

1. Функция y=15x-3sinx+5 определена при всех действительных значениях х

2. y^{prime}= 15-3cosx

3. 15-3cosx=0

cosx=5 Очевидно, что это уравнений не имеет решений, и производная при всех значениях х положительна. Следовательно, функция y=15x-3sinx+5 возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, то есть при х=0.

y(0)=5

Ответ: 5.

2. Задание B15 (№ 26702)

Найдите наибольшее значение функции  y=3tgx-3x+5 на отрезке [-{pi}/4;0].

1. ОДЗ функции y=3tgx-3x+5 x<>{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ}

2. y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3

Производная равна нулю при cosx={pm}1, однако, в этих точках она не меняет знак:

0<cos^2{x}<=1 , следовательно, 3/{cos^2{x}}>=3 , значит, 3/{cos^2{x}}-3>=0 , то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция y=3tgx-3x+5 возрастает и принимает наибольшее значение в правом конце промежутка, при x=0.

Чтобы стало очевидно, почему производная не меняет знак, преобразуем выражение для производной следующим образом:

y^{prime}=3/{cos^2{x}}-3={3-3cos^2{x}}/{cos^2{x}}={3sin^2{x}}/{cos^2{x}}=3tg^2{x}>=0

у(0)=5

Ответ: 5.

3. Задание B15 (№ 26708)

Найдите наименьшее значение функции  y=2tgx-4x+{pi}-3 на отрезке [-{pi}/3;{pi}/3].

1.  ОДЗ функции y=2tgx-4x+{pi}-3: x<>{pi}/2+{pi}k, k{in}{bbZ} 

2. y^{prime}=2/{cos^2{x}}-4

3.  2/{cos^2{x}}-4=0

cos^2{x}=1/2 cos{x}={pm}sqrt{2}/2 

Расположим корни этого уравнения на тригонометрической окружности.

Промежутку delim{[}{-{pi}/3;{pi}/3}{]} принадлежат два числа: -{pi}/4 и {pi}/4

Расставим знаки. Для этого определим знак производной в точке х=0: y^{prime}(0)=2/{cos^2(0)}-4=-2<0. При переходе через точки -{pi}/4 и {pi}/4 производная меняет знак.

Изобразим смену знаков производной функции y=2tgx-4x+{pi}-3 на координатной прямой:

Очевидно, что точка x={pi}/4 является точкой минимума ( в ней производная меняет знак с "-" на "+"), и чтобы найти наименьшее значение функции y=2tgx-4x+{pi}-3 на отрезке delim{[}{-{pi}/3;{pi}/3}{]}, нужно сравнить значения функции в точке минимума и в левом конце отрезка, f({-{pi}/3}).

Схитрим: так как результат должен быть целым числом, или конечной десятичной дробью, а tg({-{pi}/3}) таковым на является, следовательно подставим в уравнение функции x={pi}/4

y{({pi}/4)}=2tg({pi}/4)-4({pi}/4)+{pi}-3=-1

Ответ: -1

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Попробуйте скачатьFirefox

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

ege-ok.ru

Решаем задачи B14 из ЕГЭ

Автор Сергей

Воскресенье, Декабрь 18, 2011

В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
  • Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
  • Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функцииy = x3 – 18x2 + 81x + 23 на отрезке [8; 13].

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

  • Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
  • Производная функции равна: y’ = 3x2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
  • Нули производной: y’ = 3x2 – 36x + 81 = 0, значит x2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x3 – 18x2 + 81x + 23 = x(x-9)2+23:
    •  y(8) = 8 · (8-9)2+23 = 31;
    • y(9) = 9 · (9-9)2+23 = 23;
    • y(13) = 13 · (13-9)2+23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

  • Найти область определения функции.
  • Найти производную функции.
  • Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
  • Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
  • Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции:y=-\sqrt{x^2-6x+10}.

Решение: действуем по алгоритму нахождения наибольшего значения функции:

  • Область определения функции задается неравенством:x^2-6x+10\geqslant0, которое выполняется при любом x, поскольку ветви соответствующей параболы направлены вверх, а дискриминант соответствующего квадратного трехчлена отрицателен: D(y) = R.
  • Производная функции равна:y'=-\frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+10}},область определения которой также не ограничена, поскольку по указанной выше причине x2 – 6x + 10 > 0, и знаменатель дроби нигде не обращается в ноль: D(y’) = R.
  • Нули производной: 2x — 6 = 0, откуда x = 3 (одна точка, подозрительная на экстремум).
  • Отмечаем область определения функции и точки, подозрительные на экстремум, на числовой прямой, определяем знаки производной в получившихся промежутках:x = 3 — точка максимума, поскольку в ней возрастание функции (плюс производной) сменяется убыванием (минусом производной). Следовательно, максимального значения функция достигает в этой точке.
  • Находим это значение:y(3)=-\sqrt{3^2-6\cdot 3+10}=-1.

Итак, наибольшее значение функции равно -1. Ответ: -1.

Репетитор по математикеСергей Валерьевич

yourtutor.info

Наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке

Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a, b], то она достигает на этом отрезке наименьшего и наибольшего значений. Это может произойти либо в точках экстремума, либо на концах отрезка. Поэтому для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции, непрерывной на отрезке [a, b], нужно вычислить её значения во всех критических точках и на концах отрезка, а затем выбрать из них наименьшее и наибольшее.

Пусть, например, требуется определить наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a, b]. Для этого следует найти все её критические точки, лежащие на [a, b].

Критической точкой называется точка, в которой функция определена, а её производная либо равна нулю, либо не существует. Затем следует вычислить значения функции в критических точках. И, наконец, следует сравнить между собой по величине значения функции в критических точках и на концах отрезка (f(a) и f(b)). Наибольшее из этих чисел и будет наибольшим значением функции на отрезке [a, b].

Аналогично решаются и задачи на нахождение наименьших значений функции.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 2].

Решение. Находим производную данной функции . Приравняем производную нулю () и получим две критические точки: и . Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке достаточно вычислить её значения на концах отрезка и в точке , так как точка не принадлежит отрезку [-1, 2]. Эти значения функции - следующие: , , . Из этого следует, что наименьшее значение функции, равное -7, достигается на правом конце отрезка - в точке , а наибольшее, равно 9, - в критической точке .

Если функция непрерывна в некотором промежутке и этот промежуток не является отрезком (а является, например, интервалом; разница между интервалом и отрезком: граничные точки интервала не входят в интервал, а граничные точки отрезка входят в отрезок), то среди значений функции может и не быть наименьшего и наибольшего. Так, например, функция, изображённая на рисунке ниже, непрерывна на ]-∞, +∞[ и не имеет наибольшего значения.

Однако для любого промежутка (закрытого, открытого или бесконечного) справедливо следующее свойство непрерывных функций.

Если функция непрерывна в промежутке и имеет единственный экстремум, то он является наименьшим значением в случае минимума и наибольшим - в случае максимума.

Как наименьшее значение функции, так и её наибольшее значение, могут быть найдены не только в одной точке, принадлежащей заданного интервала, а, как, например, далее - в двух.

Нередки случаи, когда уравнение, полученное от приравнивания производной функции нулю, не имеет действительных решений. Тогда наименьшее и наибольшее значения функции можно найти только на концах отрезка. Таков следующий пример.

Неплохо было бы взять и случаи, когда производная функции вычисляется не одним махом, как в предыдущих примерах. Это мы сейчас и сделаем, решив пример, где требуется найти производную частного.

Пример 4. Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3].

Решение. Находим производную данной функции как производную частного:

.

Приравниваем производную нулю, что даёт нам одну критическую точку: . Она принадлежит отрезку [-1, 3]. Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции на заданном отрезке находим её значения на концах отрезка и в найденной критической точке:

Сравниваем эти значения. Вывод: функция достигает наименьшего значения, равного -5/13, в точке и наибольшего значения, равного 1, в точке .

Есть преподаватели, которые по теме нахождения наименьшего и наибольшего значений функции не дают студентам для решения примеры сложнее только что рассмотренных, то есть таких, в которых функция - многочлен либо дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены. Но мы не ограничимся такими примерами, поскольку среди преподавателей бывают любители заставить студентов думать по полной (таблице производных). Поэтому в ход пойдут логарифм и тригонометрическая функция.

В прикладных экстремальных задачах нахождение наименьшего (наибольшего) значений функции, как правило, сводится к нахождению минимума (максимума). Но больший практический интерес имеют не сами минимумы или максимумы, а те значения аргумента, при которых они достигаются. При решении прикладных задач возникает дополнительная трудность - составление функций, описывающих рассматриваемое явление или процесс.

Пример 8. Резервуар ёмкостью 4 , имеющий форму параллелепипеда с квадратным основанием и открытый сверху, нужно вылудить оловом. Каковы должны быть размеры резервуара, чтобы на его покрытие ушло наименьшее количество материала?

Решение. Пусть x - сторона основания, h - высота резервуара, S - площадь его поверхности без крышки, V - его объём. Площадь поверхности резервуара выражается формулой , т.е. является функцией двух переменных . Чтобы выразить S как функцию одной переменной, воспользуемся тем, что , откуда . Подставив найденное выражение h в формулу для S:

или

.

Исследуем эту функцию на экстремум. Она определена и дифференцируема всюду в ]0, +∞[, причём

.

Приравниваем производную нулю () и находим критическую точку . Кроме того, при производная не существует, но это значение не входит в область определения и поэтому не может быть точкой экстремума. Итак, - единственная критическая точка. Проверим её на наличие экстремума, используя второй достаточный признак. Найдём вторую производную . При вторая производная больше нуля (). Значит, при функция достигает минимума . Поскольку этот минимум - единственный экстремум данной функции, он и является её наименьшим значением. Итак, сторона основания резервуара должна быть равна 2 м, а его высота .

Пример 9. Из пункта A, находящегося на линии железной дороги, в пункт С, отстоящий от неё на расстоянии l, должны переправляться грузы. Стоимость провоза весовой единицы на единицу расстояния по железной дороге равна , а по шоссе она равна . К какой точке М линии железной дороги следует провести шоссе, чтобы транспортировка груза из А в С была наиболее экономичной (участок АВ железной дороги предполагается прямолинейным)?

Пусть , , (см. рисунок ниже).

Тогда , , . Стоимость провоза p единиц груза по шоссе СМ составит , а по железной дороге МА она составит . Общая стоимость провоза груза по пути СМА выражается функцией

,

где .

Нужно найти наименьшее значение этой функции. Она дифференцируема при всех значениях x, причём

.

Приравняв производную нулю, получим иррациональное уравнение , решение которого даёт единственную критическую точку (так как точка не входит в область определения функции).

Взяв контрольные точки и слева и справа от критической точки, убедимся, что производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при стоимость провоза груза из А и С является наименьшей, если . Если же , т. е. , то шоссе должно пройти по прямой АС (см. рисунок ниже).

Весь блок "Производная"

function-x.ru

Наибольшее и наименьшее значение функции.

В этой статье я расскажу о том, как применять умение находить производную сложной функции к исследованию функции: к нахождению ее наибольшего или наименьшего значения. А затем мы решим несколько задач из Задания В15 из  Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ  по математике.

Как обычно,  сначала вспомним теорию.

В начале любого исследования функции находим ее область определения.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции y=f(x), нужно исследовать, на каких промежутках функция возрастает, и на каких убывает.

Для этого надо найти производную функции y=f(x) и исследовать ее промежутки знакопостоянства, то есть промежутки, на которых производная сохраняет знак.

Промежутки, на которых производная функции положительна, являются промежутками возрастания функции.

Промежутки, на которых производная функции отрицательна, являются промежутками убывания функции.

1. Решим задание В15 (№ 245184)

Найдите наибольшее значение функции y=3^{-7-6x-x^2}

Для его решения будем следовать такому алгоритму:

а) Найдем область определения  функции y=3^{-7-6x-x^2}

б) Найдем производную функции y=3^{-7-6x-x^2}.

в) Приравняем ее к нулю.

г) Найдем промежутки знакопостоянства функции.

д) Найдем точку, в которой функция принимает наибольшее значение.

е) Найдем значение функции в этой точке.

Подробное решение этого задания я рассказываю в ВИДЕОУРОКЕ:

Вероятно, Ваш браузер не поддерживается. Чтобы использовать тренажёр "Час ЕГЭ", попробуйте скачатьFirefox

2. Решим задание В15 (№282862)

Найдите наибольшее значение функции y={(x-2)}^2(x-4)+5 на отрезке [1;3]

а) Найдем область определения функции  . Эта функция определена при любом действительном значении    x

б) Найдем производную функции  y={(x-2)}^2(x-4)+5. Для этого удобно  правую часть уравнения функции преобразовать в многочлен. Можно, конечно, использовать формулу для нахождения производной произведения, но в этом случае, мне кажется, что это нецелесообразно.

f(x)={(x-2)}^2(x-4)+5=(x^2-4x+4)(x-4)+5=x^3-4x^2+4x-4x^2+16x-16+5=x^3-8x^2+20x-11

{f}prime(x)={(x^3-8x^2+20x-11)}prime=3x^2-16x+20

в) Приравняем производную к нулю:

3x^2-16x+20=0

x_1=2,  x_2={10}/3

г) Исследуем знаки производной:

Мы исследуем поведение функции на отрезке [1;3]:

Очевидно, что наибольшее значение на отрезке  [1,3] функция принимает в точке максимума, при х=2. Найдем значение функции в этой точке:y(2)={(2-2)}^2(2-4)+5=5

Ответ: 5

3. Решим задание В15 (№245180):

Найдите наибольшее значение функции y=log_5{(4-2x-x^2)}+3

a) Найдем область определения функции . Выражение, стоящее под знаком логарифма должно быть больше нуля: 4-2x-x^2>0. Пока на этом остановимся, решим  неравенство, если  в этом возникнет необходимость в процессе решения.

а) Найдем производную функции y=log_5{(4-2x-x^2)}+3:

В таблице производных найдем производную логарифмической функции:

{(log_{a}x)}prime=1/{xlna}

Для   производной сложной функции эта формула выглядит так:

{(log_{a}{Delta})}prime=1/{{Delta}lna}{Delta}prime

{(log_5{(4-2x-x^2)}+3)}prime=({log_5{(4-2x-x^2)})prime+{(3)}prime={1/{(4-2x-x^2)ln5}}*{(4-2x-x^2)}prime={-2-2x}/{(4-2x-x^2)ln5}}

Выясним  промежутки знакопостоянства выражения {-2-2x}/{(4-2x-x^2)ln5}

Воспользуемся методом интервалов.

1. ln5>0,   , т.к. 5>1  , поэтому это число не влияет на знак неравенства.

2. Т.к по область определения исходной функции 4-2x-x^2>0  , следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.

3. Числитель равен нулю при x=-1. Проверим, принадлежит ли  x=-1 ОДЗ функции. Для этого проверим, выполняется ли условие  4-2x-x^2>0   при x=-1.

4-2(-1)-{(-1)}^2>0,   

значит, точка x=-1  принадлежит ОДЗ функции

Исследуем знак производной справа и слева от точки x=-1:

Мы видим, что наибольшее значение функция принимает в точке x=-1. Теперь найдем значение функции при x=-1:

y=log_5{(4-2(-1)-{(-1)}^2)}+3=log_5{5}+3=1+3=4

Ответ: 4

Замечание 1. Заметим, что в этой задаче мы не находили область определения функции: мы только зафиксировали ограничения и проверили, принадлежит ли точка, в которой производная равна нулю области определения  функции. В данной задаче этого оказалось достаточно. Однако, так бывает не всегда. Это зависит от задачи.

Замечание 2. При исследовании поведения сложной функции можно пользоваться таким правилом:

  • если внешняя функция сложной функции возрастающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наибольшее значение. Это следует из определения возрастающей функции: функция возрастает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
  • если внешняя функция сложной функции убывающая, то функция принимает наибольшее значение в той же точке, в которой внутренняя функция принимает наименьшее значение. Это следует из определения убывающей функции: функция убывает на промежутке I, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции

 В нашем примере внешняя функция log_5{x} - возрастает на всей области определения.  Под знаком логарифма стоит выражение 4-2x-x^2 - квадратный трехчлен, который при отрицательном старшем коэффициенте принимает наибольшее значение в точке x={-b}/{2a}= 2/{(-2)}=-1. Далее подставляем это значение х в уравнение функции y=log_5{(4-2x-x^2)}+3 и находим ее наибольшее значение.

И.В. Фельдман, репетитор по математике.

 

ege-ok.ru

Найдите наибольшее значение функции

В прошлой статье мы рассмотрели задания на определение точек максимума (минимума) степенной функции. Здесь представлено 7 примеров со степенной функцией. Требуется определить наибольшее (или наименьшее) значение функции на интервале. На блоге уже рассматривались подобные примеры функций с числом е, логарифмические, тригонометрические, рациональные.

Стандартный алгоритм решения таких заданий предполагает после нахождения нулей функции, определение знаков производной на интервалах. Затем вычисление значений в найденных точках максимума (или минимума) и на границе интервала, в зависимости от того какой вопрос стоит в условии. 

Советую поступать немного по-другому. Почему? Писал об этом здесь.

Предлагаю решать такие задания следующим образом:

1. Находим производную.2. Находим нули производной.3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.4. Вычисляем значения функции на границах интервала и точках п.3.5. Делаем вывод (отвечаем на поставленный вопрос).

В ходе решения представленных примеров подробно не рассмотрено решение квадратных уравнений, это вы должны уметь делать. Так же должны знать производные элементарных функций.

Рассмотрим примеры:

77422. Найдите наибольшее значение функции у=х3–3х+4 на отрезке [–2;0].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = –1.

Вычисляем значения функции в точках   –2, –1 и 0:

Наибольшее значение функции равно 6.

Ответ: 6

77425. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – 3х2 + 2 на отрезке [1;4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 2.

Вычисляем значения функции в точках  1, 2 и 4:

Наименьшее значение функции равно –2.

Ответ: –2

77426. Найдите наибольшее значение функции у = х3 – 6х2 на отрезке [–3;3].  

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Указанному в условии интервалу принадлежит точка х = 0.

Вычисляем значения функции в точках  –3, 0 и 3:

Наименьшее значение функции равно 0.

Ответ: 0

77429. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – 2х2 + х +3 на отрезке [1;4] .

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

3х2 – 4х + 1 = 0

Получим корни:  х1 = 1    х1 = 1/3.   

Указанному в условии интервалу принадлежит  только х = 1.

Найдём значения функции в точках  1 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77430. Найдите наибольшее значение функции у = х3 + 2х2 + х + 3 на отрезке [– 4; –1].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

3х2 + 4х + 1 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит  корень х = –1.

Находим значения функции в точках  –4, –1, –1/3 и 1:

Получили, что наибольшее значение функции равно 3.

Ответ: 3

77433. Найдите наименьшее значение функции у = х3 – х2 – 40х +3 на отрезке [0;4].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной, решаем квадратное уравнение:

 3х2 – 2х – 40 = 0

Получим корни:

Указанному в условии интервалу принадлежит  корень х = 4.

Находим значения функции в точках  0 и 4:

Получили, что наименьшее значение функции равно   –109.

Ответ: –109

Рассмотрим способ определения наибольшего и наименьшего значения функций без производной. Этот подход можно использовать, если с определением производной у вас большие проблемы. Принцип простой – в функцию подставляем все целые значения из интервала (дело в том, что во всех подобных прототипах ответом является целое число).

77437. Найдите наименьшее значение функции у=7+12х–х3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от  –2  до  2:

у(–2)=7+12 (–2) – (–2)3 = – 9

у(–1)=7+12 (–1) – (–1)3 = – 6

у(0)=7+12∙0 – 03 = 7

у(1)=7+12∙1 – 13 = 18

у(2)=7+12∙2 – 23 = 23

Наименьшее значение равно –9.

Ответ: –9

77441. Найдите наименьшее значение функции у=9х2–х3 на отрезке [–2;2].

Подставляем точки от  –2  до  2:

у(–2)=9 (–2)2 – (–2)3 = 44

у(–1)=9 (–1)2 – (–1)3 = 10

у(0)=9∙02 – 03 = 0

у(1)=9∙12 – 13 = 8

у(2)=9∙22 – 23 = 28

Наименьшее значение равно 0.

Ответ: 0

77442. Найдите наибольшее значение функции у=9х2–х3 на отрезке [2;10].

Подставляем точки от 2  до 10. В данном примере интервал большой и вычислений будет больше, но способ вполне применим.

Ответ: 108

*Чем меньше интервал, тем быстрее решите задачу.

 

77421. Найдите наименьшее значение функции у=х3 –27х на отрезке [0;4].

Посмотреть решение

77434. Найдите наибольшее значение функции у=х3 + 2х2 – 4х + 4 на отрезке  [–2;0].

Посмотреть решение

На этом всё. Успеха вам!

С уважением, Александр Крутицких. 

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru

Наибольшее и наименьшее значение функции

Наибольшее (наименьшее) значение функции – это самое большое (маленькое) принимаемое значение ординаты на рассматриваемом интервале.

Чтобы найти наибольшее или наименьшее значение функции необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Проверить, какие стационарные точки входят в заданный отрезок.
  4. Вычислить значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3
  5. Выбрать из полученных результатов наибольшее или наименьшее значение.

Чтобы найти точки максимума или минимума необходимо:

  1. Найти производную функции $f'(х)$
  2. Найти стационарные точки, решив уравнение $f'(х)=0$
  3. Разложить производную функции на множители.
  4. Начертить координатную прямую, расставить на ней стационарные точки и определить знаки производной в полученных интервалах, пользуясь записью п.3.
  5. Найти точки максимума или минимума по правилу: если в точке производная меняет знак с плюса на минус, то это будет точка максимума (если с минуса на плюс, то это будет точка минимума). На практике удобно использовать изображение стрелок на промежутках: на промежутке, где производная положительна, стрелка рисуется вверх и наоборот.

Таблица производных некоторых элементарных функций:

Функция Производная
$c$ $0$
$x$ $1$
$x^n, n∈N$ $nx^{n-1}, n∈N$
${1}/{x}$ $-{1}/{x^2}$
${1}/x{^n}, n∈N$ $-{n}/{x^{n+1}}, n∈N$
$√^n{x}, n∈N$ ${1}/{n√^n{x^{n-1}}, n∈N$
$sinx$ $cosx$
$cosx$ $-sinx$
$tgx$ ${1}/{cos^2x}$
$ctgx$ $-{1}/{sin^2x}$
$cos^2x$ $-sin2x$
$sin^2x$ $sin2x$
$e^x$ $e^x$
$a^x$ $a^xlna$
$lnx$ ${1}/{x}$
$log_{a}x$ ${1}/{xlna}$

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$(f(x) ± g(x))′= f′(x)± g′(x)$

Пример:

Найти производную функции $f(x) = 3x^5 – cosx + {1}/{x}$

Производная суммы и разности равна производной каждого слагаемого

$f′(x)=(3x^5)′–(cosx)′+({1}/{x})'=15x^4+sinx-{1}/{x^2}$

2. Производная произведения.

$(f(x)∙g(x))′=f′(x)∙g(x)+f(x)∙g(x)′$

Пример:

Найти производную $f(x)=4x∙cosx$

$f′(x)=(4x)′∙cosx+4x∙(cosx)′=4∙cosx-4x∙sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})'={f^'(x)∙g(x)-f(x)∙g(x)'}/{g^2(x)}$

Пример:

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f'(x)={(5x^5)'∙e^x-5x^5∙(e^x)'}/{(e^x)^2}={25x^4∙e^x-5x^5∙e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))′=f′(g(x))∙g′(x)$

Пример:

$f(x)= cos(5x)$

$f′(x)=cos′(5x)∙(5x)′= - sin(5x)∙5= -5sin(5x)$

Пример:

Найдите точку минимума функции $y=2x-ln⁡(x+11)+4$

Решение:

1. Найдем ОДЗ функции: $х+11>0; х>-11$

2. Найдем производную функции $y'=2-{1}/{x+11}={2x+22-1}/{x+11}={2x+21}/{x+11}$

3. Найдем стационарные точки, приравняв производную к нулю

${2x+21}/{x+11}=0$

Дробь равна нулю если числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю

$2x+21=0; x≠-11$

$2х=-21$

$х=-10,5$

4. Начертим координатную прямую, расставим на ней стационарные точки и определим знаки производной в полученных интервалах. Для этого подставим в производную любое число из крайней правой области, например, нуль.

$y'(0)={2∙0+21}/{0+11}={21}/{11}>0$

5. В точке минимума производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, точка $-10,5$ - это точка минимума.

Ответ: $-10,5$

Пример:

Найдите наибольшее значение функции $y=6x^5-90x^3-5$ на отрезке $[-5;1]$

Решение:

1. Найдем производную функции $y′=30x^4-270x^2$

2. Приравняем производную к нулю и найдем стационарные точки

$30x^4-270x^2=0$

Вынесем общий множитель $30x^2$ за скобки

$30x^2(x^2-9)=0$

$30x^2(х-3)(х+3)=0$

Приравняем каждый множитель к нулю

$x^2=0 ; х-3=0; х+3=0$

$х=0;х=3;х=-3$

3. Выберем стационарные точки, которые принадлежат заданному отрезку $[-5;1]$

Нам подходят стационарные точки $х=0$ и $х=-3$

4. Вычислим значение функции на концах отрезка и в стационарных точках из п.3

$y(-5)= 6∙(-5)^5-90∙(-5)^3-5=6∙(-3125)+90∙125-5= -18750+11250-5=-7505$

$y(-3)= 6∙(-3)^5-90∙(-3)^3-5=-1458+2430-5=967$

$y(0)= -5$

$y(1)= 6∙1^5-90∙1^3-5=6-90-5= -89$

Наибольшее значение равно $967$

Ответ: $967$

examer.ru

Наибольшее значение рациональной функции

   Здравствуйте, Дорогие друзья! На сайте уже рассмотрены задачи на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции, вы можете посмотреть задания с логарифмами, тригонометрическими и степенными функциями, а также с функциями, в которых присутствует квадратный трёхчлен. Алгоритм решения описывался уже неоднократно, советую посмотреть статью «Исследование функций. Это Нужно знать!» и ещё рекомендую  эту. Здесь представлены рациональные функции.

Ещё раз о порядке решения:

1. Вычисляем производную.

2. Приравниваем её к нулю (находим нули функции).

3. Определяем какие из них принадлежат данному интервалу.

4. Далее вычисляем значения функции на границах интервала и в найденных точках, которые принадлежат интервалу.

5. Выбираем наибольшее (или наименьшее) значение и записываем ответ.

Рассмотрим задачи:

77470. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [1; 10].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Данному в условии интервалу принадлежит точка х = 5.

Найдём значения функции в точках 1, 5 и 10:

Наибольшее значение функции равно 26.

Ответ: 26

 

77473. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [1; 9].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Данному в условии интервалу принадлежит точка х = 6.

Найдём значения функции в точках  1, 6 и 9:

Наименьшее значение функции равно 12.

Ответ: 12

 

77474. Найдите наибольшее значение функции

на отрезке [–4; –1].

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Данному в условии интервалу принадлежит точка х = –3.

Найдём значения функции в точках    –4, –3 и –1:

Наибольшее значение функции равно –6.

Второй способ.

Так как интервал небольшой, то можно без вычисления производной, сразу же подставить целочисленные значения из интервала в функцию и вычислить значения:

Ответ: – 6

 

129931. Най­ди­те наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции

 на от­рез­ке [1; 20].

Ответ: 22

29961. Най­ди­те наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции

 на от­рез­ке [–11; –0,5].

Ответ: –2

77469. Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [–10; –1].

Посмотреть решение

*Ещё раз акцентирую ваше внимание на примерах, в которых дан небольшой интервал. Проще и быстрее просто подставить целочисленные значения из него в функцию и далее определить наибольшее (наименьшее) её значение, чем решать по представленному алгоритму.

Конечно, здесь можно сделать справедливое замечание!

Почему достаточно взять именно целочисленные значения, ведь максимальное (минимальное) значение функции может быть и в точке которая равна целому числу с десятичной дробью? Да, может. Но в подобных заданиях ЕГЭ с рациональными и степенными функциями я таких пока не встречал. На этом всё. Успеха Вам!

C уважением, Александр.

P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.

matematikalegko.ru


Смотрите также