МАТАН ЭКЗАМЕН / 34 / возрастание и убывание функции в точке. Промежутки возрастания и убывания функции


9.Возрастание и убывание функции

Определение возрастающей функции.

Функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение убывающей функции.

Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a;b), то есть при x=a и x=b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X.

К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y=sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке .

Точки экстремума, экстремумы функции.

Точку называют точкой максимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называютмаксимумом функции и обозначают .

Точку называют точкой минимума функции y=f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называютминимумом функции и обозначают .

Под окрестностью точки понимают интервал  , где - достаточно малое положительное число.

Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции.

На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a;b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x=b, которая не является точкой максимума.

Достаточные условия возрастания и убывания функции.

На основании достаточных условий (признаков) возрастания и убывания функции находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков возрастания и убывания функции на интервале:

  • если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

  • если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;

  • найти производную функции;

  • решить неравенства и  на области определения;

  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример нахождения промежутков возрастания и убывания функции для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к нахождению производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x=0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Таким образом, и .

В точке x=2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x=0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ:

функция возрастает при , убывает на интервале (0;2].

studfiles.net

Возрастание, убывание и монотонность функции

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[, принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) > f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x2 > x1 → f(x2) < f(x1) для всех x1 и x2, принадлежащих интервалу.

Теорема 1. Если во всех точках некоторого промежутка производная функции равная нулю (f '(x) = 0), то функция f(x) сохраняет в этом промежутке постоянное значение.

Этот промежуток может быть замкнутым или открытым, конечным или бесконечным.

Теорема 2 (достаточный признак возрастания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции больше нуля (f '(x) > 0), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля (f '(x) < 0), то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю (f '(x) ≥ 0) или меньше или равна нулю (f '(x) ≤ 0), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.

Весь блок "Производная"

function-x.ru

§ 4. Промежутки возрастания и убывания функций

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x1 < x2, то f(x1) < f(x2).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x1 <x2, то f(x1) > f(x2).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.

Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

Доказательство.

Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а 

Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то естьf '(x)≥0.

Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x1 и x2 таких, что x1 < x2. Нужно доказать, что f(x1)< f(x2). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x1, x2), что . По условиюf '(x)>0, x1 – x2>0Þ , а это и значит, чтоf(x) – возрастающая функция.

Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Еслина (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривойy=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0.

Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания.

Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

. Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)È(0; +∞).

. Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞).

 

Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.

Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞), возрастает на отрезке [–1; 1].

 

.

Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).

studfiles.net

возрастание и убывание функции в точке

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы.

Очень важную информацию о поведении функции предоставляют промежутки возрастания и убывания. Их нахождение является частью процесса исследования функции и построения графика. К тому же точкам экстремума, в которых происходит смена с возрастания на убывание или с убывания на возрастание, уделяется особое внимание при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции на некотором интервале. В этой статье дадим необходимые определения, сформулируем достаточный признак возрастания и убывания функции на интервале и достаточные условия существования экстремума, применим всю эту теорию к решению примеров и задач. Рекомендуем при необходимости обращаться к разделу дифференцирование функции, так как все признаки в этой статье основаны на нахождении производной. 

Необходимые определения.

Определение возрастающей функции. Функция y = f(x) возрастает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Определение убывающей функции. Функция y = f(x) убывает на интервале X, если для любых и выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

ЗАМЕЧАНИЕ: если функция определена и непрерывна в концах интервала возрастания или убывания (a; b), то есть при x = a и x = b, то эти точки включаются в промежуток возрастания или убывания. Это не противоречит определениям возрастающей и убывающей функции на промежутке X. К примеру, из свойств основных элементарных функций мы знаем, что y = sinx определена и непрерывна для всех действительных значений аргумента. Поэтому, из возрастания функции синуса на интервале мы можем утверждать о возрастании на отрезке . Точку называют точкой максимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке максимума называют максимумом функции и обозначают . Точку называют точкой минимума функции y = f(x), если для всех x из ее окрестности справедливо неравенство . Значение функции в точке минимума называют минимумом функции и обозначают . Под окрестностью точки понимают интервал , где - достаточно малое положительное число.  Точки минимума и максимума называют точками экстремума, а значения функции, соответствующие точкам экстремума, называют экстремумами функции.

Не путайте экстремумы функции с наибольшим и наименьшим значением функции. На первом рисунке наибольшее значение функции на отрезке [a; b] достигается в точке максимума и равно максимуму функции, а на втором рисунке – наибольшее значение функции достигается в точке x = b, которая не является точкой максимума.

К началу страницы 

Достаточные признаки возрастания и убывания функции.

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции. Вот формулировки признаков:

  • если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;

  • если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма. Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции . Решение. Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, . Переходим к производной функции:   Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.   Таким образом, и . В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы. Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.   Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2].  К началу страницы 

Достаточные признаки экстремума функции.

Для нахождения максимумов и минимумов функции можно пользоваться любым из трех достаточных признаков экстремума. Хотя самым распространенным и удобным является первый из них. Первое достаточное условие экстремума. Пусть функция y = f(x) дифференцируема в -окрестности точки , а в самой точке непрерывна. Тогда

Другими словами:

Алгоритм.

  • Определяем нули числителя, нули знаменателя производной и точки области определения, в которых производная не существует (эти точки называют точками возможного экстремума, проходя через эти точки, производная как раз может изменять свой знак).

  • Эти точки разбивают область определения функции на промежутки, в которых производная сохраняет знак. Определяем знаки производной на каждом из интервалов (например, вычисляя значение производной функции в любой точке отдельно взятого интервала).

  • Выбираем точки, в которых функция непрерывна и, проходя через которые, производная меняет знак.

Слишком много слов, рассмотрим лучше несколько примеров.

studfiles.net

Монотонность функции. Возрастание и убывание

Возрастающая и убывающая функции в промежутке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), если большому значению аргумента соответствует большее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких, что x_{1} >\; x_{2} справедливо неравенство f\left(x_{1} \right)>\; f\left(x_{2} \right). ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция называется убывающей в промежутке \left(a,\; b\right), если большому значению аргумента соответствует меньшее значение функции, то есть для любой пары x_{1} ,\; x_{2} \in \left(a,\; b\right) таких что x_{1} >\; x_{2} справедливо f\left(x_{1} \right)<\; f\left(x_{2} \right).

Монотонная функция

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.Пусть функция f\left(x\right) определена и дифференцируема в промежутке \left(a;\; b\right). Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке \left(a;\; b\right), достаточно, чтобы f'\left(x\right)>0 для всех x\in \left(a,\; b\right)

Для убывания функции достаточно, чтобы f'\left(x\right)<0 для всех x\in \left(a,\; b\right).

Для исследования функции f\left(x\right) на монотонность необходимо:

  1. найти её производную f'\left(x\right);
  2. найти критические точки функции как решения уравнения f'\left(x\right)=0;
  3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;
  4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Примеры решения задач

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

3.2.1 Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания

Видеоурок: Возрастание и убывание функции

Лекция: Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания

Монотонность функции

Невозможно правильно построить охарактеризовать функцию и построить график без исследования её на монотонность.

Если у функции имеются диапазоны, на которых она постоянно убывает, или возрастает, такие функции называются монотонными.

Функция называется возрастающей, если на некотором промежутке большему значению функции соответствует большее значение аргумента, если же большему аргументы соответствует меньшее значение функции, то она называется убывающей.

Обратите внимание на рисунок: на промежутке от а до х1 значение функции увеличивается, а значит, данный промежуток функции является возрастающим. На промежутке от х1 до х2 функция убывает. А на промежутке от х2 до b функция снова возрастает.

Постоянство, возрастание, убывание

Для того, чтобы знать, как ведет себя функция необходимо знать некоторые тонкости. В этом нам помогут теоремы:

1. Функция имеет постоянные значения на некотором промежутке в том случае, когда производная в каждой точке данного промежутка равна нулю.

При этом данный промежуток может иметь конечные значения, а может иметь и бесконечные значения аргумента.

2. Достаточным признаком возрастания функции считается то, что производная данной функции на заданном интервале принимает положительные значения.

3. Достаточным признаком убывания функции на некотором промежутке можно считать отрицательное значение производной в точках, выбранных из заданного диапазона.

cknow.ru

"Возрастание и убывание функции"

"Возрастание и убывание функции"

Цели урока:

1.        Научить находить промежутки монотонности.

2.        Развитие мыслительных способностей, обеспечивающих анализ ситуации и разработку адекватных способов действия (анализ, синтез, сравнение).

3.        Формирование интереса к предмету.

Ход урока

Сегодня мы продолжаем изучать приложение производной и рассмотрим вопрос о её применениик исследованию функций. Фронтальная работа

А теперь дадим некоторые определения свойствам функции “Мозговой штурм”

1.        Что называют функцией?

2.        Как называется переменная Х?

3.        Как называется переменная Y?

4.        Что называется областью определения функции?

5.        Что называется множеством значения функции?

6.        Какая функция называется чётной?

7.        Какая функция называется нечётной?

8.        Что можно сказать о графике чётной функции?

9.        Что можно сказать о графике нечётной функции?

10.     Какая функция называется возрастающей?

11.     Какая функция называется убывающей?

12.     Какая функция называется периодической?

 

Математика изучает математические модели. Одной из главнейших математических моделей является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?

– Графический.

– Как построить график?

– По точкам.

Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? (Демонстрируются соответствующие формулы, учащиеся называют кривые, являющиеся графиками.)

А что если требуется построить график функции или еще более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками?

Поставить на доске две точки, попросить учеников показать, как может выглядеть график “между ними”:

Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная.

Откройте тетради, запишите число, классная работа.

Цель урока: узнать, как связан график функции с графиком ее производной, и научиться решать задачи двух видов:

1.        По графику производной находить промежутки возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции;

2.        По схеме знаков производной на промежутках находить интервалы возрастания и убывания самой функции, а также точки экстремума функции.

Подобные задания отсутствуют в наших учебниках, но встречаются в тестах единого государственного экзамена (часть А и В).

 Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока: Признаки возрастания и убывания функции.

Признаки возрастания и убывания функции:

Если производная данной функции положительна для всех значений х в интервале (а; в),   т.е.f'(x) > 0,  то функция в этом интервале возрастает.     Если производная данной функции отрицательна для всех значений х в интервале(а; в), т.е.f'(x) < 0, то функция в этом интервале убывает

.

Порядок нахождения промежутков монотонности:

 Найти область определения функции.

1.        Найти первую производную функции.

2.        решать самой на доске

Найти критические точки, исследовать знак первой производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции. Найти промежутки монотонности функций:

1)

а) область определения ,

б) найдем первую производную:,

в)найдем критические точки: ; ,  и

3.        Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.

 указать  на точки экстремума

       Рассмотрим несколько примеровисследования функции на возрастание и убывание.

 Достаточное условие существования максимума состоит в смене знака производной при переходе через критическую точку с "+" на "-", а для минимума с "-" на "+". Если при переходе через критическую точку смены знака производной не происходит, то в данной точке экстремума нет

1. Найти Д(f).

2. Найти f'(x).

3. Найти стационарные  точки, т.е. точки, где  f'(x) = 0 или f'(x) не существует.(Производная равна 0 в нулях числителя, производная не существует в нулях знаменателя)

4. Расположить Д(f) и эти точки на координатной прямой.

5. Определить знаки производной на    каждом из интервалов

6. Применить признаки.

7. Записать ответ.

 

. Закрепление нового материала.

Учащиеся работают в парах, решение записывают в тетрадях.

а) у = х³ — 6 х² + 9 х — 9;

б) у = 3 х² — 5х + 4.

Двое работают у доски.

а) у = 2 х³ – 3 х² – 36 х + 40

б) у =  х4  -  2 х³

      

3.Итог урока

Домашнее задание: тест (дифференцированный)

infourok.ru


Смотрите также